Hoe COVID-19 zich verspreidt

8 MEI 2020
Piet Van Mieghem

De verspreiding van virussen binnen netwerken is een fenomeen dat wetenschappelijk begrepen wordt. Het is een prachtig voorbeeld van Network Science. Dit relatief nieuwe vakgebied is gebaseerd op de fundamentele dualiteit in elk complex systeem: het samenspel tussen functie en structuur. Als we inzicht hebben in het dynamische transmissieproces en de bijbehorende contacten, kunnen we de verspreiding van een virus berekenen, de impact van interventies beoordelen en mogelijke toekomstscenario’s voorspellen.

Emergentie

We kunnen deze dualiteit uitleggen aan de hand van een eenvoudige SIS model met twee compartimenten waarbij elk knooppunt in het netwerk ofwel geïnfecteerd (I) ofwel gezond, maar vatbaar (S) is. De lokale SIS-functieregel voor elk knooppunt is als volgt: als het knooppunt geïnfecteerd is, kan het al zijn gezonde buren met enige kracht/snelheid besmetten en tegelijkertijd kan het knooppunt met enige snelheid genezen en daarna weer vatbaar zijn. De lokale SIS-regel is slechts een ‘als..., dan... anders...’-verklaring, die gemakkelijk te programmeren is. Desalniettemin veroorzaakt het effect van al die op elkaar inwerkende lokale regels via de contactgrafiek een fantastisch gecompliceerd emergent gedrag. Diezelfde dynamiek is in overvloed aanwezig in de natuur: vuurvliegjes synchroniseren hun flitsen, zwermen vissen of vogels creëren kunstzinnige bewegingen, enz. Veel van zulke verschijnselen vertonen abrupte veranderingen, de zogenaamde faseovergangen.

Epidemische drempel

Van al die emergente verschijnselen is de verspreiding van het SIS-virus op een netwerk verreweg het eenvoudigst, omdat wiskundige berekening tot op zekere hoogte mogelijk is. Specifiek kan de waarschijnlijkheid van besmetting van elk knooppunt worden bepaald. Een cruciaal concept is dat van de faseovergang, de zogenaamde epidemische drempel: als de virale besmettelijkheid boven de drempel komt, zal het virus zich over het netwerk verspreiden en uiteindelijk een aanzienlijk deel van de knooppunten besmetten. Onder de drempel zal het virus uitsterven en verdwijnen. Boven de drempel verspreidt het virus zich en infecteert het andere knooppunten exponentieel snel in de tijd; in de volksmond heet dat explosieve groei. En ja, boven de drempel volgt de virusverspreiding in eerste instantie dezelfde wetten als een ongecontroleerde kernreactie.

Anderhalve meter afstand

Positief is dat de epidemische drempel kan veranderen door de contacten te wijzigen. Als de contacten beperkt worden, zijn er minder verbanden in de graaf, stijgt de epidemische drempel en daalt de virusverspreiding. Deze eenvoudige, maar krachtige wet motiveert de 1,5 meter-afstandsregel die, samen met hygiënemaatregelen, tot nu toe in de meeste landen voor een afname van de besmetting heeft gezorgd. Het is echter nog steeds niet duidelijk of die 1,5 meter sociale afstand de epidemische drempel genoeg verschuift om het coronavirus uiteindelijk uit te roeien. In dit verband wordt vaak het reproductiegetal R0 genoemd, dat gerelateerd is aan de epidemische drempel. Dat getal is eenvoudig te begrijpen als het aantal vatbare buren in het contactnetwerk dat een besmette knoop gemiddeld kan besmetten. Een R0 > 1 staat gelijk aan een besmettelijke verspreiding boven de epidemische drempel.

Onzekerheden

Hoewel we virusverspreiding binnen netwerken wetenschappelijk begrijpen, hebben we wel te maken met onzekerheden over zowel de structuur (het contactnetwerk) als de functie (het infectieproces) in de praktijk. Het is duidelijk dat het contactnetwerk niet precies bekend is. Bovendien is het contactnetwerk niet statisch, maar verandert het in de loop van de tijd.

Tot nu toe hebben we niet precies uitgelegd wat een knooppunt in het netwerk is. Als een knooppunt een individueel persoon is, ligt het voor de hand dat het contactnetwerk van alle personen in een land onbekend is. Als we verder uitzoomen kan een knooppunt de groep mensen in een bepaalde regio (bijv. stad of provincie) vertegenwoordigen. Het contactnetwerk beschrijft dan de interacties tussen de groepen mensen in de ene regio en die in een andere regio. Binnen een groep worden alle mensen als gelijkwaardig en niet te onderscheiden beschouwd. Ondanks het verlies aan individuele precisie binnen een groep kan dit detailniveau iets beter worden gespecificeerd, omdat we ons nu concentreren op de gemiddelde interactie van een groep, in plaats van op elk individu en een gemiddelde is bijna altijd gemakkelijker te bepalen dan de willekeurige variabele zelf. Toch kan zelfs op dit hogere niveau het contactnetwerk slechts bij benadering worden bepaald.

Asymptomatisch

Het andere fundamentele begrip is het dynamische verspreidingsproces van het coronavirus. Het precieze gedrag van COVID-19 is onbekend, maar wereldwijd leren we elke dag meer. We verwachten dat dit het best bestudeerde virus ooit wordt. De dynamische parameters in de theorie van de virusverspreiding specificeren de lokale regel, namelijk de besmettelijkheid van het virus en de menselijke weerstand tegen infectie. Naast de besmettelijkheid speelt ook de verspreiding in de tijd een rol: de besmettingsduur beschrijft hoe lang de gastheer geïnfecteerd blijft en anderen kan besmetten, vanaf het moment dat de coronavirussen de gastheer binnendringen in voldoende aantal om zich voort te planten. De onzekerheid hierover is groot en hangt onder andere af van de leeftijd, de gezondheid en het immuniteitssysteem van de gastheer. Het virus zelf wordt bestudeerd in de virologie, terwijl de verspreiding ervan wordt bestudeerd in de epidemiologie. Een laatste, verontrustend feit aangaande COVID-19 is dat een niet te verwaarlozen deel van de bevolking asymptomatisch is, wat betekent dat ze geïnfecteerd en besmettelijk zijn zonder dat ze weten of het gevoel hebben dat ze geïnfecteerd zijn.

In de huidige situatie zijn noch de parameters van het infectieproces, noch voldoende details over het contactnetwerk bekend. Bijgevolg kunnen de besmettingskansen binnen het contactnetwerk niet worden berekend, noch het effect van mogelijke interventies. Zolang COVID-19 niet is uitgeroeid of onderdrukt door vaccins, is een eenvoudige conclusie dat we beter meer kunnen gaan meten, want meten is weten.

Het meten van de kenmerken van de verspreiding van COVID-19

Epidemische verspreiding is gebaseerd op de dualiteit tussen het virusverspreidingsproces, dat alleen de lokale regel in een knooppunt bepaalt, en het netwerk van contacten tussen knooppunten, wat leidt tot het wereldwijde effect van de pandemie. De minimale informatie in een compartimentmodel die nodig is om de dynamiek te bepalen zijn een snelheidsvector en een graaf.

Voor het eenvoudige SIS-epidemiemodel heb je het dan over:

  • de besmettingsgraad of infectiekans tussen twee knooppunten en de genezingssnelheid of de kans op herstel van de ziekte
  • de graaf van het onderliggende contactnetwerk

Er zijn twee digitale (d.w.z. niet-medische) meettechnieken om te bepalen wie er geïnfecteerd is of is geweest:

  • indirect, gebaseerd op schattingen van het contactnetwerk en de waarschijnlijkheid van besmettelijke ontmoetingen
  • door rechtstreeks te meten

Indirect meten

Met indirect meten, of afleiden, bedoelen we de omgekeerde berekening om de snelheidsvector en de contactgraaf te schatten, gebruikmakend van de geschiedenis van het infectieproces tot aan het heden in een willekeurig knooppunt: zie NIPA. Een vereenvoudigde versie die het contactnetwerk negeert, wordt het vaakst gebruikt: het aantal geïnfecteerde personen dat op landelijk niveau in de loop van de tijd wordt gerapporteerd, wordt ingevoerd in een eenvoudig SIR-epidemiemodel waarbij de besmettingsgraad en de genezingsgraad worden geschat, waaruit dan het basisreproductiegetal R0 volgt als de verhouding tussen de besmettingsgraad en de genezingsgraad.

Deze methode van afleiding kent een fundamentele beperking, zelfs als de exacte tijdreeksen in elk knooppunt bekend zijn. Hoewel we in dat optimale geval heel precies kunnen voorspellen, kunnen we niet veel zeggen over het precieze onderliggende contactnetwerk. Exit-strategieën zullen de snelheidsvectoren en de contacten beïnvloeden. Om exit-strategieën te kunnen kwantificeren, hebben we dus meer precieze informatie over de contacten nodig.

Directe metingen

Directe metingen hebben tot doel alle informatie te verzamelen om de contactgraaf en eventueel ook de snelheidsvectoren te specificeren. Het virale contactnetwerk is op de een of andere manier gerelateerd aan menselijke mobiliteitspatronen, die kunnen worden afgeleid uit verkeersmetingen, mobiele draadloze netwerken, eventuele apps (binnen bluetooth-bereik) of sensoren. Eenvoudig gezegd wordt verondersteld dat de besmettingskans tussen twee knooppunten (regio's) in een netwerk evenredig is aan het aantal mensen dat zich tussen deze knooppunten verplaatst. Het aantal verschillende transportmodi (trein, vliegtuig, schip, auto, fiets, enz.) speelt duidelijk een rol. Het is precies onze wereldwijd verbonden wereld die de snelle verspreiding van COVID-19 heeft veroorzaakt. De huidige wetenschappelijke uitdaging ligt in de combinatie van verschillende meettechnieken om zo nauwkeurig mogelijk de snelheidsvectoren en contactgraaf te bepalen. Zijn die eenmaal bekend, dan kunnen we de verspreiding van COVID-19 onder controle houde

Modelleren van exit-strategieën

Exit-strategieën beschrijven de versoepeling van de huidige intelligente lockdown. Typisch zal elke exit-strategie twee aspecten bevatten:

  • het soort maatregel dat wordt versoepeld (bijv. openbare bijeenkomsten, sluiting van scholen, sluiting van winkels, sociale afstand, beperking van mobiliteit en werkgelegenheid)
  • de mate waarin mensen zich aan deze maatregelen zullen houden.

Elke exit-strategie heeft ook een temporele en een ruimtelijke dimensie: in welk tijdsvenster is een specifieke maatregel operationeel en in welke regio?

Vallen en opstaan

Momenteel zijn er geen optimale exit-strategieën bekend. De meeste overheden nemen maatregelen op basis van gedeeltelijke informatie en passen een aanpak van vallen en opstaan toe: als een of andere quarantainemaatregel wordt versoepeld, wordt het effect op het aantal nieuwe infecties nauwlettend in de gaten gehouden. Als een bepaald niveau wordt overschreden, wordt de quarantainemaatregel opnieuw opgelegd. Op dit moment lijkt dit de enige manier te zijn, gezien het serieuze gebrek aan meetgegevens zijn. Tot op heden zijn alle exit-strategieën ook regionaal ingevoerd, waarbij elk land zijn eigen beslissingen neemt.

Desalniettemin buigen veel onderzoeksgroepen zich over exit-strategieën (example). Een eerste stap kan bestaan uit het structureren van relevante exit-strategieën. Bij TU Delft werken we onder andere aan een taxonomie van exit-strategieën:

  • regionale maatregelen
  • periodieke lockdown en gedeeltelijke werkweek
  • geleidelijke versoepeling op basis van leeftijd
  • versoepeling binnen sectoren
  • systematische uitroeiing van het virus (langere quarantaine en ontwikkeling van vaccins)

Evaluatie en optimalisatie

Een tweede stap zal zijn om te proberen de meest veelbelovende exit-strategieën epidemiologisch te evalueren door het effect van een exit-strategie op de infectiekans van elk knooppunt in het netwerk te berekenen. Eén rij in de infectiekans-contactmatrix komt dan overeen met de infectiekansen van één regio in zijn interacties met alle andere regio's. Als we de invoer van één rij in de infectiekans-contactmatrix wijzigen als gevolg van een bepaalde overheidsmaatregel in een exit-strategie, kunnen we het effect van die maatregel op het hele netwerk berekenen. We geloven dat deze netwerkwetenschappelijke benadering uniek is, omdat alle momenteel beschikbare modellen zich richten op slechts één regio, zonder rekening te houden met de interacties met naburige regio's.

De derde stap is dan het kiezen van de strategie die de epidemie zo goed mogelijk bestrijdt, in combinatie met andere evaluatiecriteria (economisch, sociaal/psychologisch, handhaving, enz.).

Prof. Piet Van Mieghem

Professor Piet Van Mieghem is gespecialiseerd in complexe netwerken. Precies tien jaar geleden begon hij zich te verdiepen in digitale virussen die via e-mails of systeemfouten onze netwerken binnenkomen. Nu verlegt Van Mieghem de focus van een digitaal naar een biologisch virus. ‘Want,’ stelt hij, ‘de wiskundige basismodellen die eraan ten grondslag liggen, zijn eigenlijk dezelfde.’ Op verzoek van het RIVM doet hij onderzoek naar de verspreiding van COVID19 met behulp van het Network Inference-based Prediction Algorithm (NIPA). Met zijn kennis over herstel van netwerken na bijvoorbeeld aardbevingen, overstromingen en terreuraanslagen, denkt hij ook mee over de Nederlandse exitstrategie.

Meer informatie

Voorspellingen verspreiding COVID-19 per regio 
Artikel ‘Een samenleving na corona’

/* */