De meeste mensen houden het liefst grote afstand tot zowel wiskunde als epidemieën. Maar met een beetje van het eerste kan je juist een hoop van het tweede voorkomen. Onder begeleiding van professor Kees Vuik modelleerden twee scholieren een recente cholera uitbraak in Ghana en kijkt een bachelorstudent naar het nieuwe coronavirus.
‘Ik gebruik al tien jaar het verloop van kleine uitbraken en grote epidemieën om nieuwe studenten te laten kennismaken met wiskundig modelleren,’ zegt Kees Vuik, professor in de Numerical Analysis-groep aan de TU Delft. ‘Met deze bachelorstudenten ga ik flink de wiskundige diepte in, maar in de basis zijn deze modellen vrij eenvoudig. Het zou fantastisch zijn als iedereen wat inzicht hierin krijgt, want dan snappen we allemaal beter waarom bepaalde maatregelen wel of niet genomen worden.’
Met wat meer inzicht in ziektemodellen snappen we allemaal beter waarom bepaalde maatregelen genomen worden.
Het verloop van ‘eenvoudige’ ziektes
Het verloop van een uitbraak van bekende ziektes als griep, mazelen, bof en rodehond is bijvoorbeeld al nauwkeurig te voorspellen met het SIR-model (zie figuur). Hierbij is de populatie opgedeeld in drie groepen, zogenoemde compartimenten: Gezonde mensen, Zieke mensen en Immune mensen. Degenen in de groep Gezonde mensen hebben een bepaalde kans om ziek te worden, en daarmee op te schuiven naar de groep Zieke mensen. Daarbij geldt natuurlijk dat hoe meer mensen al ziek zijn, en daarmee besmettelijk, hoe groter de kans is om als gezond mens ziek te worden. Zieke mensen hebben op hun beurt een bepaalde kans om beter te worden, en op te schuiven naar de groep Immune mensen. Eenvoudig als dit model is, laat het al zien dat het aantal zieken in de tijd een piek vertoont. De hoogte en het moment van deze piek hangen bij dit model van twee coëfficiënten af. De eerste coëfficiënt is een getal waarvan de waarde aangeeft hoe snel zieke mensen andere, gezonde mensen, aansteken. De waarde van de tweede coëfficiënt geeft aan hoe snel zij beter worden. Het model kan worden uitgebreid met bijvoorbeeld vaccinaties en een eventuele latente periode waarin iemand al geïnfecteerd is, maar nog niet besmettelijk. Zo’n model is wiskundig dan wel een stuk lastiger op te lossen.
We wilden iets met wiskunde doen en het moest maatschappelijk relevant zijn.
Cholera in Ghana
‘Begin vorig jaar zag ik op een conferentie een ziektemodel voor cholera,’ zegt Vuik. ‘Nieuw voor mij hierin was dat de cholerabacterie niet alleen van mens tot mens wordt overgedragen, maar ook via besmet drinkwater. Ik heb toen twee scholieren gevraagd te kijken of ze dit model aan de praat konden krijgen en konden toepassen op een recente lokale uitbraak van cholera in Ghana.’ In 2014 raakten daar meer dan zeventienduizend mensen besmet waarvan er zo’n driehonderd overleden. De twee scholieren, Annelotte Baarslag en Mark Tabaksblat van Gymnasium Novum in Voorburg, waren net door de selectie van de Pre-University College van de Universiteit Leiden gekomen en hadden daar wel oren naar. ‘We konden voor ons eindproject uit een grote hoeveelheid onderzoeksopdrachten kiezen. Daarbij wilden we iets met wiskunde doen en ook dat het onderzoek maatschappelijk relevant was,’ zegt Annelotte. ‘Het modelleren van het verloop van een ziekte leek ons heel interessant.’
Een eenvoudig corona-model
Een bachelorstudent van professor Vuik onderzoekt op dit moment of het met een wat eenvoudiger model (toch) mogelijk is om beter te begrijpen waarom bij de huidige corona-uitbraak bepaalde maatregelen worden voorgesteld, zoals het afsluiten van het luchtruim voor vluchten uit bepaalde landen. De student zal specifiek kijken naar hoe het komt dat het virus zich zo verschrikkelijk snel over de wereld verspreid heeft. Hiervoor zal hij modelleren wat de invloed is van lange-afstandsreizen in combinatie met al dan niet ziek zijn op het moment dat je besmettelijk bent. ‘Ik denk daarom ook dat het interessant is een vierde categorie aan het SIR-model toe te voegen, besmettelijk-maar-nog-niet-ziek,’ aldus Vuik. ‘Het belangrijkste van dit onderzoek is dat de student ervan leert. Het is niet het doel en de verwachting iets te ontdekken dat interessant is voor het RIVM, maar dat helemaal uitsluiten doe ik ook niet.’
Geen houden meer aan
‘We hebben onszelf wel wat extra wiskunde eigen moeten maken,’ zegt Mark, ‘maar we konden ons onderzoek en het model goed uitleggen aan klasgenoten en familie. Niet zozeer hoe je het model oplost met numerieke wiskunde, maar wel de verschillende verbanden in het model en hoe deze elkaar en het verloop van een uitbraak beïnvloeden.’ De scholieren deden zelf eerst ervaring op met het eenvoudige SIR-model voor griep. Toen ze dat onder de knie hadden, richtten ze zich op het ingewikkeldere model van cholera, met daarin dus de extra besmettingsroute via drinkwater. Het model was ook uitgebreid met geboorte en de natuurlijke dood van mensen. Behalve dat een model moet kloppen, en dus de juiste verbanden moet weergeven, is ook het vinden van de juiste coëfficiënten een grote uitdaging. ‘In eerste instantie waren Mark en Annelotte huiverig om zelfs maar de waarde van een coëfficiënt te veranderen,’ zegt Vuik. ‘Maar toen het model met een enkele aanpassing veel beter aansloot bij de uitbraak in Ghana was er al snel geen houden meer aan. Ze geloofden geen enkele coëfficiënt meer, en hebben zelfs een aanpassing aan het model gedaan.’
Het SIR-model heeft drie compartimenten: Susceptible (vatbaar), Infectious (besmettelijk) en Recovered (genezen). Omdat het aantal gezonde en daarmee mogelijk te infecteren mensen steeds verder afneemt (blauwe grafiek), zal het aantal zieke mensen (groene grafiek) eerst toenemen en daarna afnamen. De epidemie stopt vanzelf. Uiteindelijk is iedereen ziek geweest en nu immuun (rode grafiek).
Wel riolering, geen quarantaine
‘Toen ons model eenmaal goed aansloot bij de uitbraak in Ghana konden we ermee onderzoeken welke maatregelen een overheid kan nemen om een uitbraak van cholera in te dammen,’ zegt Annelotte. ‘Zo hebben we de coëfficiënt verlaagt die in het model de overdracht van cholerabacteriën van mens naar lokale wateren weergeeft. Dit kan een overheid bijvoorbeeld bewerkstelligen door betere riolering aan te leggen. Het model voorspelde dat dit zowel het totaalaantal geïnfecteerden verlaagde als het aantal doden ten gevolge van de uitbraak.’ Dit was geheel volgens verwachting, want midden 19e eeuw verdwenen uitbraken van cholera in Nederland als sneeuw voor de zon met het aanleggen van drinkwaterleidingen en riolering. ‘Misschien wel het meest interessant was dat quarantaine totaal geen effect heeft bij cholera,’ zegt Mark. ‘Je beperkt dan wel de overdracht van mens tot mens, maar via het drinkwater raakt uiteindelijk toch iedereen geïnfecteerd. En er overlijden net zo veel mensen als zonder deze maatregel.’ Volgens professor Vuik ligt dit iets genuanceerder. ‘Als je naast de zieke mensen ook de geïnfecteerde waterbronnen afsluit van de rest van het land, door bijvoorbeeld een heel dorp af te sluiten, dan werkt een quarantaine wel. Uitgebreidere ziektecompartimentmodellen delen een gebied of land dan ook op in verschillende regio’s waarbij ook het reizen tussen de regio’s gemodelleerd wordt.’
En dan te bedenken dat wiskundigen nu ook echt levens aan het redden zijn.
Het zijn de details die ertoe doen
‘Het model dat we voor cholera gebruikt hebben, is al behoorlijk geavanceerd en van wetenschappelijk niveau,’ zegt Vuik, ‘maar de echte kennis zit natuurlijk bij het RIVM.’ Daar werkt een twintigtal wiskundigen aan ziektemodellen. Op dit moment, met de corona-uitbraak, dag en nacht. ‘Het model van deze nieuwe ziekte is wel bekend, maar de uitbraak zelf is nog maar net begonnen,’ vervolgt Vuik. ‘Elke dag zijn er nieuwe gegevens die tot betere inzichten leiden, en tot nieuwe waardes van coëfficiënten: besmettelijkheid, vanaf wanneer iemand anderen kan infecteren, enzovoort – en dat per leeftijdscategorie.’ De modellen van het RIVM zijn in de basis vergelijkbaar met waar de scholieren naar gekeken hebben, maar toch ongelooflijk ingewikkeld om op te lossen omdat ze zoveel details moeten meenemen. Bij de eenvoudige modellen is bijvoorbeeld iedereen in de bevolking even vatbaar voor ziektes, en even besmettelijk. Het RIVM kan dit uitsplitsen naar leeftijdsgroep en geslacht. Bovendien hebben ze heel gedetailleerde informatie over hoe vaak en tussen wie er contact is, en waar dat contact plaatsvindt. Daardoor kunnen ze van veel meer maatregelen de effecten doorrekenen, zoals bijvoorbeeld het sluiten van scholen. ‘Ik begeleid momenteel een bachelorstudent die voor het coronavirus onderzoekt of sommige maatregelen ook uit een wat simpeler model kunnen volgen,’ zegt Vuik (zie kader).
Een toekomstscenario met extra inzicht
“Het is het jaar 2041. Na een eerste voorzichtige uitbraak onder scholieren in Voorburg heeft het wiskundig begrip van ziektemodellen zich ondertussen over Nederland verspreid. De quarantaine van de gehele stad Rotterdam, na bijna 200 jaar onverwacht opnieuw getroffen door cholera in het havengebied aldaar, kwam dan ook voor niemand als een verrassing. Er werden geen Kamervragen gesteld.”
De kracht van wiskunde
Beide scholieren waren al voor hun modelleeropdracht gegrepen door de kracht van wiskunde en die willen ze blijven toepassen. Annelotte is aangenomen bij de marine voor de opleiding tot officier zeedienst, een technische bachelor met veel wiskunde en natuurkunde. Mark gaat waarschijnlijk in Leiden wiskunde en natuurwetenschappen studeren. ‘Met de huidige corona-uitbraak begint het bij ons wel weer een beetje te kriebelen,’ zegt hij. ‘En dan te bedenken dat wiskundigen nu ook echt levens aan het redden zijn.’
