Van micro naar macro met dualiteit
De werkelijkheid, hoe zit dat ook alweer? Soms is wel bekend hoe onze macroscopische wereld van alledag zich gedraagt, en is deze ook in formules vastgelegd, maar deze is lang niet altijd verklaard vanuit de microscopische wereld van botsende en random bewegende moleculen. Frank Redig wil het verband tussen micro en macro realiteit begrijpen in de context van niet-evenwicht systemen. Hij onderzoekt aan welke voorwaarden een niet-evenwicht model moet voldoen om wiskundig oplosbaar te zijn met een krachtig hulpmiddel, dualiteit, en ontving hiervoor een NWO TOP1-subsidie.
Niet-evenwicht betekent dat je een andere film te zien krijgt als je de tijd omdraait. Wij proberen voor dit soort systemen wiskundig te verklaren hoe macroscopische wetten voortkomen uit de onderliggende microscopische wereld.
Prof.dr. F.H.J. Redig
Prof.dr. F.H.J. Redig behaalde zijn Master en, in 1992, zijn PhD aan de Universiteit van Antwerpen. Vervolgens was hij zes jaar monnik en twee jaar postdoc. Van 2000 tot 2005 was hij als universitair docent verbonden aan de TU Eindhoven en daarna vier jaar als universitair hoofddocent aan de Universiteit Leiden. Na een aanstelling aan de Radboud Universiteit Nijmegen is hij sinds 2010 professor in Applied Probability bij de afdeling Applied Mathematics van de faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica van de TU Delft.
Wiskundigen, en natuurkundigen, gebruiken modellen om de werkelijkheid te beschrijven en te begrijpen. Ook al is elk model een versimpeling van de microscopische werkelijkheid, soms kunnen er macroscopische natuurkundige wetten en fenomenen uit afgeleid worden. Bijvoorbeeld het bevriezen van water bij een bepaalde temperatuur, of waarom van sommige materialen
permanente magneten te maken zijn. Dit zijn echter voorbeelden van systemen in evenwicht. Voor niet-evenwicht systemen zijn de modellen vaak niet wiskundig oplosbaar, en is er geen algemene theorie die de micro-wereld en de macro-wereld verbindt, zoals de Boltzmann-Gibbs verdeling dat doet bij evenwicht.
Achter de formule
“De natuurkunde van niet-evenwicht verschijnselen is voor het grootste deel nog open gebied,” zegt Frank Redig. “We weten wat er gebeurt bij evenwicht, en dicht daarbij in de buurt, maar niet ver ervandaan.” Als voorbeeld van een niet-evenwicht systeem noemt hij een metalen staaf die aan beide uiteinden een verschillende temperatuur heeft en houdt. “Er is een goed werkende formule voor de warmtegeleiding die dan optreedt van warm naar koud. Deze formule is eenvoudig af te leiden uit het behoud van energie en het feit dat de warmtestroming evenredig is met de gradiënt van de temperatuur. Maar die formule is fenomenologisch en er is geen wiskundig rigoureus bewijs van, startend van een model van de onderliggende microscopische wereld van trillende atomen. Ik wil weten hoe het op atomair niveau zit, hoe de warmtegeleiding voortkomt uit de verandering in vrijheidsgraden van die individuele atomen. Daarvoor werken mijn collega’s en ik met stochastische modellen, die vereenvoudigingen zijn van de echte microscopische quantumwereld.”
Boltzmann-Gibbs verdeling
De Boltzmann-Gibbs verdeling is een waarschijnlijkheidsverdeling van de micro-toestanden van een systeem in thermisch evenwicht. Hoe hoger de energie van een micro-toestand, hoe lager de waarschijnlijkheid dat die bezet is of zich voordoet. De waarschijnlijkheid van een microtoestand met hoge energie neemt weer toe bij een hogere temperatuur van het systeem. De Boltzmann-Gibbs verdeling geeft zo het precieze compromis tussen maximale entropie (wanorde in een systeem) en minimale energie.
Model
Een model is een wiskundige beschrijving van een fysisch systeem. Bijvoorbeeld een rooster waarop deeltjes onafhankelijk van elkaar, en op willekeurige momenten, van links naar rechts springen. Een ander voorbeeld is een keten van deeltjes die met spiraalveertjes aan hun dichtstbijzijnde buren vastzitten.
Veel modellen, weinig oplossingen
“Voorwaarde voor de systemen waar we naar kijken, is dat er iets behouden blijft, bijvoorbeeld de totale energie in het systeem of het aantal deeltjes,” zegt Redig. De modellen voldoen uiteraard ook aan die voorwaarde. Daarnaast probeert men ze zo realistisch mogelijk te houden, dicht bij de fysieke werkelijkheid. Ook al lijken deze modellen soms verrassend eenvoudig, lang niet elk model voor een fysisch systeem is wiskundig oplosbaar. Maar onder bepaalde voorwaarden is het mogelijk om met dualiteit een exacte oplossing te vinden (zie kader ‘Dualiteit’). “Meestal zijn deze dualiteiten in het verleden ad-hoc gevonden. Voor bepaalde niet-evenwichtssystemen vond men plotseling een systeem dat veel simpeler is, dat je er als het ware op kon plakken. Wij hebben nu een constructieve theorie ontwikkeld die kan verklaren waarom voor het ene model dualiteit werkt, en voor een ander model niet, en ook hoe we de dualiteitsfuncties kunnen vinden.”
Krachtige symmetrie
Het wiskundig formalisme dat ze hiervoor gebruiken, en dat dus nog een abstractieniveau hoger is dan dualiteit zelf, rust op de aanwezigheid van extra symmetrieën in de modellen. De studie van deze symmetrieën berust wiskundig op Lie-theorie. Volgens Redig “geeft deze methode niet alleen aan of dualiteit mogelijk is, het is zelfs zo dat alle dualiteitsfuncties er dan automatisch uit komen rollen. Afhankelijk van waar je in geïnteresseerd bent – de fysieke stroom, het aantal deeltjes, noem maar op – kies je de juiste dualiteitsfunctie.” Voor het verder ontwikkelen van deze methode ontving Redig samen met Frank den Hollander van de Universiteit Leiden en Cristian Giordinà van de Universiteit van Modena en Reggio Emilia (Italië) een TOP1-subsidie van NWO.
Dualiteit
Een model dat niet wiskundig oplosbaar is, kan onder bepaalde omstandigheden ‘verbonden’ worden met een eenvoudiger model dat veelal geen echte fysische betekenis heeft, maar dat wel oplosbaar is. De schakel tussen deze twee modellen is de zogenoemde dualiteitsfunctie.
Niet-evenwicht
Niet-evenwicht houdt in dat een film van een fysisch systeem er anders uitziet zodra je de tijd omdraait. Er is een stroming. In een oneindig grote zandloper vallen er elke seconde evenveel korreltjes door de vernauwing. Met de tijd omgedraaid, vallen ze niet langer naar beneden maar omhoog.
Microscopische rijkdom
Het belangrijkste aspect van hun voorstel is misschien nog wel de toepassing van deze theorie voor inhomogene systemen, zoals verontreinigingen in de al eerdergenoemde metalen staaf. “Bijna alles in de wereld is inhomogeen,” licht Redig toe. “Het lijkt alleen homogeen als je op een bepaalde schaal kijkt.” Het toepassen van dualiteit reikt daarmee, net als de interesses van Redig, ook nog eens veel verder dan fundamentele fysische processen. “Denk aan welvaartsverdeling in de maatschappij. Wiskundig gezien kan je hier exact dezelfde modellen op toepassen, want ook hier verspreid ‘iets’ zich (geld) terwijl de totale hoeveelheid ervan behouden is (als je op de goede tijdschaal kijkt). En het feit dat iemand in Amerika anders met geld omgaat dan iemand in Nederland, of dat de economische omstandigheden anders zijn, dat kan je als een verontreiniging zien. Door de eeuwen heen heeft welvaart zich telkens verdeeld volgens de Pareto-verdeling, 80% van de rijkdom voor de 20% rijksten. Ik wil weten of daar misschien een microscopisch theoretische verklaring voor is, net zoals voor de snelheidsverdeling van moleculen in een gas.”
Dromerig improviseren
Ook biologische systemen zijn op deze manier te vangen in dualiteit - de behouden grootheid is dan de populatiegrootte. Denk hierbij bijvoorbeeld aan hoe de kenmerken van een populatie zich ontwikkelen door evolutionaire krachten als mutaties, selectie en migratie. Mogelijk, maar dat is speculatie, is ook bewustzijn een verschijnsel dat met de micro-naar-macro overgang te maken heeft, en verwant is met het fenomeen fase-overgang. “Een enkel watermolecuul bevriest niet, maar een heleboel wel. Deze faseovergang kan je wiskundig verklaren als je de thermodynamische limiet neemt, dus als je naar een oneindig aantal deeltjes in een oneindig volume gaat. Hetzelfde is waarschijnlijk waar voor allerlei verschijnselen in de hersenen. We hopen vergelijkingen te vinden voor het beschrijven van een macroscopisch systeem van neuronen.” Daarmee vangt Redig, die zowel zijn wiskundige werk als zijn hobby pianospelen omschrijft als ‘dromerig improviseren’, dan mogelijk ook zichzelf in formulevorm.
Tekst: Martijn Engelsman | Fotografie: Mark Prins